\input{../preambules/preDM.tex}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\newcommand{\e}{e}
\usepackage{enumitem}

\begin{document}

\chead{Correction Devoir maison n°5}
\lfoot{}
\cfoot{\'Etude de fonctions, variables aléatoires}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir maison n°5}
\end{center}

\section*{Exercice 1 - Inspiré d'ECRICOME 2004 ECT}

L'exercice se propose d'\'etudier la fonction $f$ \'etant d\'efinie sur $\R$ par~:
        pour tout $x \in \R$, $f(x)=\e^{-x}\ln(1+\e^x)$.

\subsubsection*{\'Etude d'une fonction $\bf g$  interm\'ediaire.}

On considère la fonction  d\'efinie sur $\R_+$ par~:
$$\forall t\ge 0,\qquad g(t)={t\over t+1}-\ln(1+t)$$

\begin{enumerate}
\item Pour tout $t \geq 0$, $t+1>0$, donc
\begin{itemize}
\item $t \to t$ est continue sur $\R_+$
\item $t \to t+1$ est continue sur $\R_+$ et ne s'annule pas sur cet intervalle.
\item $t \to \ln(t+1)$ est continue sur $\R_+$ 
\end{itemize}
\begin{center}
\fbox{Donc $g$ est continue sur $\R_+$ en tant que somme, quotient et composée de fonctions continues. }
\end{center}
\item On a 
$$
\dfrac{t}{t+1} = \dfrac{t}{t(1 + 1/t)} = \dfrac{1}{1 +\frac{1}{t}}
$$
Or $\li_{t \to + \infty} \dfrac{1}{1 +\frac{1}{t}} = 1$ et $\li_{x \to + \infty} \ln(1+t) = + \infty$. Donc
\begin{center}
\fbox{$\li_{t \to + \infty} g(t) = - \infty$.}
\end{center}
\item La fonction $g$ est dérivable sur $\R_+$ en tant que somme, quotient et composée de fonction dérivables sur $\R_+$. On a alors
\begin{eqnarray*}
\forall t \geq 0, \quad g'(t) & = & \dfrac{(t+1) - t}{(t+1)^2} - \dfrac{1}{t+1} \\
& = & \dfrac{-t}{(t+1)^2} \leq 0
\end{eqnarray*}
\item La fonction \fbox{$g$ est décroissante sur $\R_+$}. La fonction $g$ admet donc un maximum en $0$. Or $g(0) = 0$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$ \forall t \geq 0, \; g(t) \leq 0$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\subsubsection*{\'Etude de la fonction $\bf f$.}
\begin{enumerate}[start = 5]
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit et composée de fonctions dérivables sur $\R$. 
\begin{eqnarray*}
\forall x \in \R, \; f'(x) & = &  -e^{-x} \ln(1 + e^x) + e^{-x} \times \dfrac{e^x}{1 + e^x} \\
& = & e^{-x} \left( \dfrac{e^x}{1 + e^x} - \ln(1 + e^x) \right)
\end{eqnarray*}
Ainsi, \begin{center}
\fbox{$\forall x \in \R$, $f'(x) = e^{-x} g(e^x)$.}
\end{center}
\item On a 
$$
e^{-x} \ln(1 + e^x) = \dfrac{\ln(1+e^x)}{e^{x}}
$$
Et $\li_{x \to - \infty} f(x) = \li_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(1+e^x)}{e^{x}} = \li_{X \to 0} \dfrac{\ln(1+X)}{X}$. Par taux d'accroissements,
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to - \infty} f(x) = 1$.}
\end{center}
On a aussi 
$$
e^{-x} \ln(1 + e^x) = e^{-x} \ln(e^x (e^{-x} + 1)) = e^{-x} (x + \ln(1 + e^{-x}) = x e^{-x} + e^{-x} \ln(1+ e^{-x}).
$$
Or $ \li_{x \to + \infty} x e^{-x} = \li_{x \to + \infty} \dfrac{x}{e^x} = 0$ par croissance comparée et $\li_{x \to + \infty}  e^{-x} \ln(1+ e^{-x}) = 0$. Ainsi
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to + \infty} f(x) = 0$.}
\end{center}
\item Pour tout $x$ réel, $e^x > 0$ et donc $g(e^x) < 0$. De plus, $e^{-x} >0$ et on a donc $f'(x) <0$. 
\begin{center}
 \fbox{La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$. }
 \end{center} 
 On trace alors son tableau de variations. 
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=8]{$x$/1,Variations de $f$/2}{$- \infty$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/$1$, -/$0$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.33}{0}{$\ln(2)$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.66}{1}{$\dfrac{\ln(1+e)}{e}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Sachant que 
\begin{itemize}
\item $f$ est continue sur $[0,1]$,
\item $f$ est strictement décroissante sur $[0,1]$,
\item $f([0,1]) = \left[ \dfrac{\ln(1+e)}{e} ; \ln(2) \right] \subset [0;1]$. 
\end{itemize}
$f$ est une bijection sur $[0,1]$ à valeurs dans $\left[ \dfrac{\ln(1+e)}{e} ; \ln(2) \right] \subset [0;1]$ (On dit que $f$ est stable par $[0;1]$. On a alors,
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \in [0,1], \quad 0 \leq f(x) \leq 1
$.}
\end{center}

\end{enumerate}
\newpage


\section*{Exercice IV - ECRICOME 2011}
\subsection*{PARTIE I. Un jeu en ligne.}

\begin{enumerate}
\item Les positionnement sont d\'{e}termin\'{e}s par l'ensembles (sans
ordre) des 3 positions distinctes parmi 9.

il y en a donc $\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=3\cdot
4\cdot7=84$

\item $\left( H\right) $ est form\'{e} de 3 positionnements : ligne 1, 2 ou
3, les positionnements \'{e}tant \'{e}quiprobables (on le suppose) donc $%
\mathrm{P}\left( H\right) =\dfrac{3}{84}$

$\left( V\right) $ est form\'{e} de 3 positionnements : colonne $A,$ $B$ ou $%
C$ donc $\mathrm{P}\left( V\right) =\dfrac{3}{84}$

$\left( D\right) $ comporte es deux diagonales descendants et ascendantes.
Donc $\mathrm{P}\left( D\right) =\dfrac{2}{84}$

\item $\left( H,V,D,N\right) $ \'{e}tant un syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}%
nements, 
\begin{align*}
\mathrm{P}\left( N\right) & =1-\mathrm{P}\left( V\right) -\mathrm{P}\left(
H\right) -\mathrm{P}\left( D\right) \\
& =1-\frac{8}{84}=1-\frac{2}{21} \\
& =\frac{19}{21}\simeq0.9048
\end{align*}

\item La soci\'{e}t\'{e} peut s'attendre \`{a} $10~000$ relances par jour de
ce jeu.

\begin{enumerate}
\item Pour chaque entier naturel $i$ non nul. on note $Z_{i}$ le gain de la
soci\'{e}t\'{e} \`{a} la $i^{\grave{e}me}$ relance.

Lors de la $i\grave{e}me$ relance, la soci\'{e}t\'{e} peux gagner 2 euros
(la mise) si $N$ ou en perdre 18 sinon.

Donc $Z_{i}\left( \Omega\right) =\left\{ 2,-18\right\} $. avec $\mathrm{P}%
\left( Z_{i}=2\right) =\mathrm{P}\left( N\right) =\frac{19}{21}$ et $\mathrm{%
P}\left( Z_{i}=-18\right) =\frac{2}{21},$ donc 
\begin{align*}
E\left( Z_{i}\right) & =2\frac{19}{21}-18\frac{2}{21} \\
& =\frac{38-36}{21}=\frac{2}{21}
\end{align*}

\textsl{Conclusion : }\fbox{$E\left( Z_{i}\right) =\frac{2}{21}\simeq0,1$}

\item le gain total est la somme des gains \`{a} chaque relance donc $Z=\sum
Z_{i}$ et $E\left( Z\right) =10000\cdot\frac{2}{21}\simeq1000$

\textsl{Conclusion : }\fbox{En moyenne, la soci\'{e}t\'{e} gagnera \`{a} peu
pr\`{e}s 1000\euro{} par jour }, mais elle peut esp\'{e}rer beaucoup plus !
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE II. Cas de joueurs inv\'{e}t\'{e}r\'{e}s.}

\begin{enumerate}
\item Un Joueur d\'{e}cide de ,jouer $100$ parties cons\'{e}cutives que l'on
suppose ind\'{e}pendantes.

\begin{enumerate}
\item $X$ est le nombre de parties gagn\'{e}es en 100 parties ind\'{e}%
pendantes, la probabilit\'{e} de gagn\'{e} chacune \'{e}tant de $\frac{2}{21}
$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$X\hookrightarrow\mathcal{B}\left( 100,\frac {2}{%
21}\right) $} (loi binomiale)

\item on a donc \textsl{\ }\fbox{$E\left( X\right) =\frac{200}{21}$ et $%
V\left( X\right) =\frac{2}{21}\frac{19}{21}10$} (formules du cours)

\item En 100 parties, $X$ sont gagn\'{e}es (gain $18X)$ et $100-X$ perdues
(perte $2\left( 100-X\right) $ )

La perte totale est donc $T=2\left( 100-X\right) -18X=200-20X$

(On peut compter diff\'{e}remment : il mise $200$ et re\c{c}oit $20$ par
partie gagn\'{e}e donc $20X)$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$T=200-20X$}
\end{enumerate}

\item Avec $n$ parties au lieu de $100$, l'\'{e}v\'{e}nement $U=$ "gagner
au moins une partie" est l'\'{e}v\'{e}nement contraire de $\left(
X=0\right) $

$\mathrm{P}\left( X=0\right) =\binom{n}{0}\left( \frac{2}{21}\right)
^{0}\left( \frac{19}{21}\right) ^{n}$

Donc 
\begin{align*}
\mathrm{P}\left( U\right) & =1-\left( \frac{19}{21}\right) ^{n}\geq0.5 \\
& \Longleftrightarrow\left( \frac{19}{21}\right) ^{n}\leq\frac{1}{2} \\
& \Longleftrightarrow n\ln\left( \frac{19}{21}\right) \leq-\ln\left(
2\right) \text{ (attention }\ln\left( \frac{19}{21}\right) <0\text{)} \\
& \Longleftrightarrow n\geq\frac{-\ln\left( 2\right) }{\ln\left( \frac {19}{%
21}\right) }\simeq\frac{0,7}{0.1}
\end{align*}
\textsl{Conclusion : }\fbox{%
\begin{tabular}[t]{l}
il faut jouer au moins 7 (ou 8) partie pour en gagner au moins une \\ 
avec une probabilit\'{e} sup\'{e}rieure \`{a} 50\%%
\end{tabular}
}
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE III. Contr\^{o}le de la qualit\'{e} du jeu.}

On constate que, parfois, la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}r\'{e}gl\'{e}%
e. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la case $\left( A,1\right) $
, les deux autres \'{e}tant plac\'{e}s au hasard dans les cases restantes.
On note $\Delta$ l'\'{e}v\'{e}nement \og la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}%
r\'{e}gl\'{e}e\fg et on pose $\mathrm{P}\left( \Delta\right) =x$ avec $x\in%
\left] 0,1\right[ $.

\begin{enumerate}
\item Sachant $\Delta,$ les positions sont d\'{e}termin\'{e}es par la seule
combinaison des 2 autres positions parmi les 8 restantes.

Il y a donc $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2\cdot1}=28$ positionnements
possibles et \'{e}quiprobables.

$\left( H\right) $ est \`{a} pr\'{e}sent r\'{e}duit \`{a} la ligne $1,$ $V$ 
\`{a} la colonne $A$ et $D$ \`{a} la diagonale descendante.

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\mathrm{P}_{\Delta}\left( H\right) =\mathrm{P}%
_{\Delta}\left( V\right) =\mathrm{P}_{\Delta}\left( D\right) =\dfrac{1}{28} $%
}

\item On a donc $\mathrm{P}_{\Delta}\left( N\right) =1-\dfrac{3}{28}=\dfrac{%
25}{28}$

Sachant $\overline{\Delta},$ l'exp\'{e}rience se fait dans les conditions de
la partie $I$ et les probabilit\'{e}s sont donc celle de la partie I : $%
\mathrm{P}_{\overline{\Delta}}\left( N\right) =\dfrac{19}{21}$

$\left( \Delta,\overline{\Delta}\right) $ est un syst\`{e}me complet d'\'{e}v%
\'{e}nement donc 
\begin{align*}
\mathrm{P}\left( N\right) & =\mathrm{P}_{\overline{\Delta}}\left( N\right)
\cdot\mathrm{P}\left( \Delta\right) +\mathrm{P}_{\Delta}\left( N\right) \cdot%
\mathrm{P}\left( \Delta\right) \\
& =x\dfrac{25}{28}+\left( 1-x\right) \dfrac{19}{21} \\
& =x\dfrac{25}{4\cdot7}+\left( 1-x\right) \dfrac{19}{3\cdot7} \\
& =\frac{25\cdot3-19\cdot4}{3\cdot4\cdot7}x+\frac{19}{21} \\
& =-\frac{x}{84}+\frac{19}{21}
\end{align*}
\textsl{Conclusion : }\fbox{la probabilit\'{e} les jetons ne soient pas align%
\'{e}s est \'{e}gal \`{a} $\mathrm{P}\left( N\right) =-\dfrac{x}{84}+\dfrac{%
19}{21}$}

\item Soit $G$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au gain r\'{e}alis\'{e}
par la soci\'{e}t\'{e} de jeu lors d'une partie jou\'{e}e.

On a donc $\mathrm{P}\left( G=2\right) =\mathrm{P}\left( N\right) $ et $%
\mathrm{P}\left( G=-18\right) =\mathrm{P}\left( \bar{N}\right) =1-\mathrm{P}%
\left( N\right) $

Donc 
\begin{align*}
E\left( G\right) & =2\left( -\frac{x}{84}+\frac{19}{21}\right) -18\left( 1+%
\frac{x}{84}-\frac{19}{21}\right) \\
& =-\frac{20}{84}x+\frac{2}{21}
\end{align*}

Donc 
\begin{align*}
E\left( G\right) & >0\Longleftrightarrow-\frac{20}{84}x+\frac{2}{21}>0 \\
& \Longleftrightarrow x<\frac{2}{21}\frac{84}{20}=\frac{2}{5}
\end{align*}

\textsl{Conclusion : }\fbox{le gain moyen reste positif tant que $x<\dfrac {2%
}{5}$}

\item On joue une partie. On constate que les jetons sont align\'{e}s.

la fonction al\'{e}atoire a \'{e}t\'{e} d\'{e}r\'{e}gl\'{e}e si $\Delta$

On cherche donc $\mathrm{P}_{\bar{N}}\left( \Delta \right) $ par la formule
de Bayes :%
\begin{align*}
\mathrm{P}_{\bar{N}}\left( \Delta \right) & =\frac{\mathrm{P}\left( \Delta
\cap \bar{N}\right) }{\mathrm{P}\left( \bar{N}\right) } \\
& =\frac{\mathrm{P}\left( \Delta \right) \mathrm{P}_{\Delta }\left( \bar{N}%
\right) }{\mathrm{P}\left( \bar{N}\right) } \\
& =\frac{x\cdot \frac{3}{28}}{1-\left( -\frac{x}{84}+\frac{19}{21}\right) }
\\
& =\frac{x\cdot \frac{3}{28}}{\frac{2}{21}+\frac{x}{84}}=\frac{9x}{x+8}
\end{align*}%
\textsl{Conclusion : }\fbox{%
\begin{tabular}[t]{l}
Si les jetons sont align\'{e}s, la fonction al\'{e}atoire a \'{e}t\'{e} d%
\'{e}r\'{e}gl\'{e}e \\ 
avec une probabilit\'{e} $\dfrac{9x}{x+8}$%
\end{tabular}
}
\end{enumerate}

\end{document}